I - Problème :

L'équation x ² + 1 = 0 n'admet pas de solution réel . On se place dans un ensemble de nombres tels que cette équation ait des solutions :

On pose : i 2 = -1

x ² + 1 = 0x ² = -1 x ² = i ²

x ² - i ² = 0 (x - i) (x + i) = 0

On a doit comme solution soit x = i ou x = - i

i et - i sont des imaginaires purs : ce sont des nombres complexes .

Résolution : x ² + x + 1 = 0 = (a x 2 + b x + c )

= b ² - 4 a c = 1 ² - 4 = -3 = -1 . 3 = 3 i²

 

II - Forme algébrique d'un nombre complexe :

1 - Définition : 

Un nombre complexe s'écrit sous forme algébrique : z = a + i b où a et b sont deux réels et i le nombre imaginaire tel que i ² = -1

L'ensemble des nombres complexes est noté " C "

" a " s'appel la partie réelle de z et se note Re (z)

" b " s'appel la partie imaginaire de z et se note Im (z)

Exemple : z = 4 i Re (z) = 0 ; Im (z) = 4 ; (z est alors un imaginaire pur)

Rem : en physique, les nombres complexes s'écrivent parfois sous la forme " a + bj " avec j, I, ou i imaginaires .

Le conjugué d'un complexe : (on change simplement le signe de la partie imaginaire).

Le module d'un complexe = ex :

 

2 - Somme et produit :

Soit " z = a + ib " et " w = c + id " deux complexes :

z + w = (a + c) + i (b + d)

z . w = (a + ib)(c + id) = ac + ibc + iad + i ² bd = (ac - bd) + i (bc + ad)

 

3 - Quelques formules :

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III - Forme géomètrique d'un nombre complexe :

1 - Représentation géomètrique d'un nombre complexe : 

On se place dans le plan muni d'un repére orthonormé .

A tout nombre complexe z = x + iy , on peut associer :

• le point M (x,y) , point image de z : .
• le vecteur , vecteur image de z :

On dit alors que M ou v a pour affixe le nombre z (c'est l'inverse de l'image) .

Exemple : z = 2 + 3i pt image = M (2 + 3i) ; z = affixe de M .

Le module |z| est la distance de 0 à M .

 

 

2 - Opérations : 

a) Addition : Soit (z) et ' (z') alors +' = (z+z')

b) Multiplication par un réel : Soit (z) alors a(az) donne :

(ici a = 2)

c) Conjugué :

d) Module : = distance de O à M.

voir Pythagore ...

 

3 - Forme trigonomètrique d'un nombre complexe : 

On appelle argument d'un nombre complexe z non nul, le réel ("thêta") défini à 2("pi") près par :

On note : arg z = [2] ; (2= un tour complet du cercle)

 

vérifie:

Exemple : z = 1+ i ou z = i

Propriétés :

• arg z = 0 ssi ("si et seulement si") z appartient aux réels.
• ssi z est un imaginaire pur.
• arg (z z') = arg z + arg z'
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Soit z C. Si |z| = et arg de z = alors z peut s'écrire sous forme trigomomètrique : z = (cos + i sin ) .

 

IV - Trigonomètrie : 

1 - Cercle trigonomètrique : 

On appelle "cercle trigo", un cercle orienté de rayon 1 . Par convention, on choisit le sens inverse des aiguilles d'une montre comme sens direct ou sens positif.

Si thêta est la détermination principale d'un angle orienté alors (k) sont toutes les mesures de cet angle.

 

2 - Valeurs remarquables : 

Angle en degré	0°	30°	45° (carré)	60° (triangle équila)	90°	180°
Angle en radian	0	/6	/4	/3	/2
cos	1	(3)/2	(2)/2	1/2	0	-1
sin	0	1/2	(2)/2	(3)/2	1	0
tan	0	1/3	1	3	impossible	0
cotan	impossible	3	1	1/3	0

 

3 - Propriétés : 

Théorème de Pythagore : cos ²+ sin ²= 1

Rappel : cotan x = cos x / sin x ; tan x = sin x / cos x .

 

 

a) Formules pour la somme de 2 angles :

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

tan (a + b) = (tan a + tan b) / (1 - tan a tan b)

b) Formules de duplication :

cos 2a = cos ²a - sin ²a = 2 cos ²a - 1 = 1 - 2 sin ²a

sin 2a = 2 sin a cos a

tan 2a = (2 tan a) / (1 - tan ²a)

c) Linéarisation :

cos ²a = (1 + cos 2a) / 2 ; sin ²a = (1 - cos 2a) / 2

d) Somme de 2 fonctions trigonomètriques :

cos p + cos q = 2 cos ((p+q)/2) cos ((p-q)/2) ; cos p - cos q = -2 sin ((p+q)/2) sin ((p-q)/2) .

sin p + sin q = 2 sin ((p+q)/2) cos ((p-q)/2) ; sin p - sin q = 2 sin ((p-q)/2) cos ((p+q)/2) .

e) Changement de variable t = tan (x/2) :

f) Euler :

 

g) Moivre :

h) Divers :

 

V - Géomètrie : 

Rappel : Soit M (z) (affixe) et P (z') alors le vecteur MP a pour affixe z'-z .

 

1 - Translation de vecteur v (a;b) :

 T vz' = z + a + ib (conserve les longueurs = isomètrie)

2 - Homothétie ("même angle") de centre O et de rapport k :

 H (O ; k)z' = z k (conserve formes et angles ; agrandissement ~ cinéma)

3 - Rotation de centre O et d'angle : 

R (O,)z' = e i z

4 - Similitude de centre O, rapport k, et d'angle : 

S (O,k,) = H (O ; k) . R (O ; )z' = w + k e i (z - w) (conserve les angles)

5 - Symètrie par rapport à Ox : 

S (Ox)z' =

6 - Inversion de centre O et de rapport k : 

I (O,k)z' = k / (droite cercle)

 

7 - Abaque de Smith :

zz +