MattMonc's Web, ACCUEIL

 

Chapitre III :

POLYNOMES /

DECOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES

 

I - Les polynômes :

1 - Définition : 

On appelle polynôme en x de degré n une expression du type :

P(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... ... + a1 x + a0

où a0, a1,... ..., an sont des réels ou des complexes ; le nombre an étant différent de zéro.

La valuation est la plus petite puissance de coefficient non nul du polynôme. Par convention, la valuation du polynôme nul est +.

Exemple : P (x) = 6 x3 + 3 x2 + 3 degré de P = 3 ; valuation = 0 (3* 0 x)

 

2 - Développement d'une fonction Y=P(x) en série entière de puissance (X-Xo) de taylor sans reste en x0 pour un polynôme de degré n : 

Si P(x0) = 0 , on peut mettre (x - x0) en facteur dans P(x).
Si P(x0) = P'(x0) = 0 , on peut mettre (x - x0)² en facteur dans P(x).
 

3 - Division des polynômes suivant les puissances décroissantes : 

N(x) = D(x) Q(x) + R(x)

degré (R) < degré (D)

 

 

4 - Division des polynômes suivant les puissances croissantes :

N(x) = D(x) Q(x) + R(x)

degré (Q) = n

valuation (R) > n

 

 

 

II - Les fractions rationnelles :

1 - Définition : 

On appelle fraction rationnelle un quotient de deux polynômes .

Exemple : (x² + 3x + 7) / (x + 1)

Le polynôme E(x) obtenu par division de P(x) par Q(x) selon les puissances décroissantes s'appelle la partie entière de la fonction .

Si a est racine de multiplicité n de Q(x), c'est à dire si (x - a)n divise Q(x), on dit que a est pôle d'ordre n de la fonction .

Si le polynôme irréductible x² + px + q (delta < 0) divise Q(x), il existe un entier maximum n tel que (x² + px + q)n divise Q(x) : n est appelé multiplicité de x² + px + q dans Q(x).