I - Les polynômes :
1 - Définition :
On appelle polynôme en x de degré n une expression du type :
P(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... ... + a1 x + a0 où a0, a1,... ..., an sont des réels ou des complexes ; le nombre an étant différent de zéro.
La valuation est la plus petite puissance de coefficient non nul du polynôme. Par convention, la valuation du polynôme nul est +.
Exemple : P (x) = 6 x3 + 3 x2 + 3 degré de P = 3 ; valuation = 0 (3* 0 x)
2 - Développement d'une fonction Y=P(x) en série entière de puissance (X-Xo) de taylor sans reste en x0 pour un polynôme de degré n :
- Si P(x0) = 0 , on peut mettre (x - x0) en facteur dans P(x).
- Si P(x0) = P'(x0) = 0 , on peut mettre (x - x0)² en facteur dans P(x).
3 - Division des polynômes suivant les puissances décroissantes :
N(x) = D(x) Q(x) + R(x) degré (R) < degré (D)
4 - Division des polynômes suivant les puissances croissantes :
N(x) = D(x) Q(x) + R(x) degré (Q) = n valuation (R) > n
II - Les fractions rationnelles :
1 - Définition :
On appelle fraction rationnelle un quotient de deux polynômes .
Exemple : (x² + 3x + 7) / (x + 1)
Le polynôme E(x) obtenu par division de P(x) par Q(x) selon les puissances décroissantes s'appelle la partie entière de la fonction .
Si a est racine de multiplicité n de Q(x), c'est à dire si (x - a)n divise Q(x), on dit que a est pôle d'ordre n de la fonction .
Si le polynôme irréductible x² + px + q (delta < 0) divise Q(x), il existe un entier maximum n tel que (x² + px + q)n divise Q(x) : n est appelé multiplicité de x² + px + q dans Q(x).