I - Ensemble de définition :

Le graphe de f est l'ensemble des points M tels que en faisant varier x dans l'ensemble de définition (Ef) :

Exemple : y = f(x) = 1 / x

Ef = |R \ {0} = ] - ; 0 [U] 0 ; +[ = "Tous les nombres réel sauf le zéro".

 

II - Parité, imparité, ou ni paire ni impaire :

1 - Fonctions paires : f (-x) = f (x)

Si pour tout x dans Ef (dans l'ensemble de définition), -x appartient () à Ef , et l'équation f (-x) = f (x) est vérifiée, on dit que f est une fonction paire. La courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (axe vertical) :

 

 

2 - Fonctions impaires : f (-x) = -f (x)

Si pour tout x dans Ef (dans l'ensemble de définition), -x appartient () à Ef et f (-x) = -f (x), on dit que f est une fonction impaire.

Exemple : y = f (x) = x³ ; Si x = 2, on a f (-x) = -2³ = -2*-2*-2 = 4*-2 = -8 = - f (2) = -(2³).

 

3 - Fonctions ni paires ni impaires :

Exemple : y = f (x) = e^x

Si x = 1, on a f (1) = e¹ = e = ~2,71

Si x = -1, on a f (-1) = e^-1 = 1/e = ~0,3678

Si x = 0, on a f (0) = e⁰ = 1

Conclusion : f (-x) = f (x) et f (-x) = -f (x) ne sont pas vérifiées. La fonction f (x) = e^x est donc ni paire ni impaire.

 

III - Périodicité d'une fonction :

Déf : f est une fonction périodique de période T, si T est le plus petit réel positif tel que :

1) x Ef x + TEf

2) f (x) = f (x + T)

[Voir la trigonométrie.]

Une petite technique : retenir 2/a

Exemple : f (x) = sin 2x = sin ax , donc a = 2 , on a : 2/ a = 2/2 = donc f (x) = sin 2 x est périodique .

 

 

IV - Limites d'une fonction :

1 - Limites de fonctions usuelles :

a) f (x) = x²:

b) f (x) = x³:

2 - Les branches infinies d'une courbe (asymptotes) :

a) : on a une asymptote verticale . (Ex : 1/x en 0)

b) : on a une asymptote horizontale . (Ex : 1/x en l'infini).

c) : on doit étudier la

1^er cas : On a une branche parabolique de direction verticale x << f (x) en + (Ex : x², e^x)

2^ème cas : On a une branche parabolique de direction horizontale (ex : ln x, ).

3^ème cas : Il faut étudier

1- On a une branche parabolique de direction : y = a x . (Ex : y = 2x + en +)

2- On a une asymptote oblique d'équation : y = a x + b . (Ex : y = 4x + 3 + 1/x en +)

3 - Les formes indéterminées :

Exemple 1 : 0 / 0

Quand x0 , f (x) = 49 x0 ; et g (x) = 94 x0 : on a

Quand x0 , f (x) = 49 x²0 ; et g (x) = 94 x0 : on a

Quand x0 , f (x) = 49 x0 ; et g (x) = 94 x³0 : on a

Exemple 2 :

Quand x0⁺, f (x) = 1 + x1 , et g (x) = + , et on a or d'où

L'outil principal pour lever une indétermination est le développement limité.

V - Formules de dérivations et de primitives :

 

Soit f une fonction définie sur une intervalle I et "a" un nombre de cette intervalle.

Dire que f est dérivable en "a", signifie que le rapport a une limite finie en "l". "l" est appelé nombre dérivé de f en "a", noté f '(a).

Ainsi,

f '(a) = coefficient directeur de (T) à (Cf) au point d'abscisse.

 

Théorème 1 : Si f est dérivable sur l'intervalle I et si f ' est nulle sur I , alors f est une constante sur I .

Théorème 2 : Si f est dérivable sur I et si f ' est positive sur I , alors f est croissante sur I .

Théorème 3 : Si f est dérivable sur I et si f ' est négative sur I , alors f est décroissante sur I .

DERIVEES

f (x)	f ' (x)		Fonction	Dérivé
a (constante)	0		u + v	u' + v'
a.x	a		u.v	u'v + uv'
a.x + b	a		u / v	(u'v-uv')/v2
1/x	-1/x2		1/v	-(v'/v2)
1/xn	-n/(xn+1)
	1/(2)			u'/(2)
xn	n.xn-1		un	n.un-1.u'
ln x	1/x		ln u	u'/u
ex	ex		eu	(u'/u)eu
cos x	- sin x		cos u	-u' sin u
sin x	cos x		sin u	u' cos u
tan x	1+tan2.x		up/x
cos-1x	-1/		up/x	( p/x)up/q-1
Arccos x	-1/
Arcsin x	1/
Arctan x	1/(1+x2)
tan-1x	1/(1+x2)
Argth x	1/

Un fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I, lorsque F est dérivable sur I et que F ' = f . (k est un réel quelconque)

PRIMITIVES

f (x)	F (x)		Fonction	Primitive
a (constante)	a x + k		eu	(1/u')eu+ k
x	(1/2)x2+ k		sin (ax + b)	-(1/a) cos (ax + b) + k
1/x2	-1/x + k		cos (ax + b)	(1/a) sin (ax + b) + k
1/	2+ k		u'/	2+ k
xn	(1/(n+1))xn+1		u'/ u2	-1/u + k
cos x	sin x + k		u'/u	ln (-u) + k
sin x	-cos x + k		un u'	(1/(n+1))un+1+ k
sh x	ch x
ch x	sh x
1/cos2x	tan x + k

VI - Tableau de variations :

On y regroupe tous les résultats trouvés précédemment.

VII - Tracé de la courbe :

VIII - Représentations à échelles logarithmiques :

1 - Représentation logarithmique des nombres positifs sur un axe :

x = 10⁴ ou u = log x = log (10⁴) = 4

2 - Représentation semi - log d'une fonction y = f (x) :

L'axe des abscisses (horizontal) est gradué en échelle log u = log x .

L'axe des ordonnées (vertical) est gradué en échelle géométrique y .

On trace y en fonction de u soit y = F (u) = f (10^u)

(c'est cette fonction " f (10^u)" qu'il faut entrer sur les calculatrices graphiques)

La fonction a étudier devient donc F (u) = f (10^u) mais on peut remarquer que dF / du et df / dx sont de même signe.

Exemple :

y = log (10 x²) = log 10 + 2 log x = 1 + 2 u

On remarque log x = u et 10^{log x}= x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 - Représentation log - log d'une fonction y = f (x) :

L'axe des abscisses (horizontal) est gradué en échelle log : u = log x .

L'axe des ordonnées (vertical) est gradué en échelle log : v = log y .

On trace v en fonction de u soit v = log ( f (10^u)) = F (u)

(c'est cette fonction " log ( f (10^u))" qu'il faut entrer sur les calculatrices graphiques)

La fonction a étudier devient donc F (u) = log ( f (10^u)) mais on peut remarquer que dv / du et dy / dx sont de même signe.

Exemple :

y = 100 x³

v = log y = log (100 x³)

= log 100 + 3 log x = 2 + 3 u

 

 

 

 

 

 

IX - Exemples d'étude de fonctions :